Operasi vektor meliputi perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar, penjumlahan dua vektor, selisih dua vektor, vektor posisi, teorema titik tengah dan resultan dari beberapa vektor. Dalam subbab ini akan dibahas operasi vektor dalam tafsiran geometri.
Perkalian sebuah vektor dan skalar
Jika k suatu bilangan real dan suatu vektor, perkalian menghasilkan suatu vektor yang panjangnya kali panjang vektor dan arahnya sama dengan arah jika , atau berlawanan dengan jika . Jika , maka diperoleh vektor nol
Sifat-sifat perkalian vektor dengan skalar
Penjumlahan dua vektor
Jumlah dua vektor atau lebih disebut vektor hasil atau resultan. Untuk menjumlahkan dua buah vektor dan dapat kita gunakan 2 metode berikut.
Metode Segitiga
Vektor hasil (resultan), yaitu , diperoleh dengan menampilkan titik awal salah satu vektor (misalnya ) pada titik ujung vektor yang lainnya. Resultan dari dengan metode segitiga merupakan vektor bertitik awal dan bertitik ujung di titik ujung . Apabila dan , maka
Berdasarkan uraian di atas diperoleh
Metode jajargenjang
Resultan dan diperoleh dari diagonal jajargenjang yang di bentuk oleh dab ditempatkan berimpit
Resultan dari beberapa vektor
Untuk menentukan resultan dari beberapa vektor, berarti kita menentukan penjumlahan lebih dari dua vektor sehingga dapat digunakan cara poligon. Cara ini merupakan pengembangan metode segitiga.
Perhatikan:
Hal ini berarti:
Secara umum:
Sifat-sifat penjumlahan dua vektor
Sifat komutatif (pertukaran)
Untuk setiap vektor dan berlaku
Sifat asosiatif (pengelompokkan)
Untuk setiap vektor , dan berlaku
Elemen identitas, yaitu vektor nol
Untuk setiap vektor berlaku
Invers tambah
Invers tambah suatu vektor ditulis dan memenuhi
Selisih dua vektor
Jika seperti pada gambar berikut
maka dapat ditulis sebagai atau ditulis sebagai . Berdasarkan titik awal dan titik akhir , dapat ditulis sebagai: atau
Vektor posisi
Vektor posisi dari titik A terhadap pusat O ditulis atau . Gambar berikut menunjukkan posisi dari titik A, B dan C terhadap pusat O, ditulis , , dan .
Vektor , , dan disebut vektor posisi dari titik A, B dan C. Vektor posisi dari A, B dan C sering ditulis dengan huruf kecil , , dan
Perhatikan berikut,
terlihat bahwa:
Teorema titik tengah
Jika titik A dan B mempunyai vektor posisi dan terhadap O maka vektor posisi dari titik M yang merupakan titik tengah dari titik A dan B, ditulis vektor posisi , yaitu: , berarti